勉強時間の計測に時間時刻記録

2009年04月20日

昨日の平成教育委員会の問題の証明の不十分なところ

昨日の平成教育委員会の算数の問題の証明は不十分だと思った。
その問題とは
kyoikuiinkai.GIF
一辺の長さが12の正方形が2つあって図1のようにCとFを重ねたとき図形ABCGHIの面積は204だった。
このときの図形ABCGHIの周の長さを求めなさい。

この問題の答えは次のように説明されていた。
kyoikuiinkai2.GIF
IとCを結ぶ補助線を引き図2ように二つの台形ABCIとHGFI'に分け
一方を裏返してFとI、CとI'が重なるように配置し長方形ABHGを作る。
答えはABHGの周の長さと同じだからAGがわかれば答えが出る。
AB*AG=204だから
AG = 204/12 = 17。
よって答えは(12+17)*2 = 58。


説明不足だと思ったのは二つの台形をくっつけたときに長方形になるというところ。
そういえるためには∠AIC+∠I'FG=∠HI'F +∠ICB=180°を証明しなければならない。

三角形IEC≡三角形I'DFを証明できれば
∠EIC = ∠DI'Fであり
∠EIC+∠HI'F = 180°
∠DI'F+∠AIC = 180°
だから∠HI'F = ∠AIC・・・@
そして三角形IEC≡三角形I'DFから
∠ICE = ∠I'FDであり
∠ICE + ∠I'FG = 90°
∠I'FD + ∠ICB = 90°
だから∠I'FG = ∠ICB・・・A
さらに
四角形ABCIは四角形だから
∠A+∠B+∠AIC+∠ICB=360°
∠A=∠B=90°だから
∠AIC+∠ICB=180°・・・B
同様に
∠HI'F+∠I'FG =180°・・・C
B+Cと@,Aから∠AIC+∠I'FG=∠HI'F +∠ICB=180°
となり証明が完成する。
よって三角形IEC≡三角形I'DFを証明する。
∠IEC = ∠I'EF=90°(ABCD、EFGHは正方形だから)
IC = I'F(共通の辺)
EC = DF(ともに合同な正方形の一つの辺だから)
よって直角三角形の合同条件から三角形IEC≡三角形I'DF。

証明終了




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2009年03月14日

7で割った余りの求め方

まず6桁以下の整数で考える。(6桁未満の場合は最上位桁の左に0をつけて6桁にする)
はじめに下から2桁ごとに区切る。
次にそれら2桁の数字を7で割った余りを求める。
そして上2桁の余りをa、中2桁の余りをb,下2桁の余りをcとする。
このとき(10b+c)-(10a+b)を7で割った余りが元の数字の余りと一致する。
(10b+c)-(10a+b)<0の場合は0以上6以下になるまで7を足せばよい。


12345を7で割った余りを求めてみよう。
まず01、23、45のように区切り
次にそれぞれを7で割っていく。
それぞれの余りは1,2,3である。
(10*2+3)-(10*1+2)=23-12=11
これを7で割ると4余る。
よって12345を7で割った余りは4である。


桁数が6より大きい場合
まず下から6桁ごとに区切る。
そして各6桁ごとに上の方法で余りを求める。
その後それらを合計して7で割ればよい。

987654012345を7で割った余りを求めてみよう。
まず987654、0123456のように区切る
そして上の方法でそれぞれを7で割ったあまりを求めると
3、4である。
これらを合計すると7だから7で割った余りは0である。
よって987654012345を7で割った余りは0である。





証明

6桁以下の場合
下から2桁ごとに区切た数字をA,B,Cとし
それぞれを7で割った余りをa、b、c、商をp,q,rとすれば
A=7p+a
B=7q+b
C=7r+c
である。
このとき元の数字は
A*10^4+B*10^2+C
=(7p+a)10^4+(7q+b)*10^2+(7r+c)
=7(p*10^4+q*10^2+r) + a*10^4+b*10^2+c
よって
A*10^4+B*10^2+C≡a*10^4+b*10^2+c(mod 7)・・・@(x≡y(mod n)については11の倍数をみてください)

10^2 = 14*7+2
よってmodの定義より 10^2≡2(mod 7)
これと11の倍数の証明中の(1)(2)(3)から
a*10^4+b*10^2+c≡4a+2b+c(mod 7)・・・A

(10b+c)-(10a+b)
=-10a+9b+c
= (-14+4)a+(7+2)b+c
=7*(-2a+b)+4a+2b+c
よってmodの定義より
(10b+c)-(10a+b)≡4a+2b+c(mod 7)・・・B

@ABと11の倍数の証明中の(4)より
A*10^4+B*10^2+C≡(10b+c)-(10a+b)(mod 7)
よって A*10^4+B*10^2+C と (10b+c)-(10a+b) の7で割った余りは一致する。(補足参照)

( (10b+c)-(10a+b)<0のときは
定義より
0≡7n(mod 7)
よって
A*10^4+B*10^2+C≡(10b+c)-(10a+b)+7n(mod 7)
だから
0 <= (10b+c)-(10a+b)+7n < 6
となるようにnを選べばよい。 )



桁数が6より大きい場合
10^2≡2(mod 7)と11の倍数の証明中の(2)から10^6≡8(mod 7)が導ける。
定義から8≡1(mod 7)。
10^6≡8(mod 7)、8≡1(mod 7)と11の倍数の証明中の(4)から10^6≡1(mod 7)。
さらに11の倍数の証明中の(2)を使えば
10^6n≡1(mod 7)(nは任意の自然数)・・・C

任意の整数zは
z = Σf(i)*10^i (0<=i, 0<=f(i)<=9)
= ΣΣf(6s+t)*10^(6s+t) (0<=s, 0<=t<=5)
= Σ(Σf(6s+t)*10^t)*10^6s
のようにあらわせる。
(Σf(6s+t)*10^t)*10^6s は下から6s+1から6(s+1)桁までの数字

11の倍数の証明中の(3)より
Σf(6s+t)*10^t≡Σf(6s+t)*10^t(mod 7)・・・D
であるがCDと11の倍数の証明中の(2)から
(Σf(6s+t)*10^t)*10^6s≡Σf(6s+t)*10^t(mod 7)・・・E
これは言い換えれば6桁の整数は10^6sを掛けても(6桁ずらしても)7で割った余りが同じということ。

Σf(6s+t)*10^tを7で割った余りをr(s)とすれば
Σf(6s+t)*10^t≡r(s)(mod 7)・・・F
EFと11の倍数の証明中の(4)より
(Σf(6s+t)*10^t)*10^6s≡r(s)(mod 7)
よってこれと11の倍数の証明中の(1)を繰り返し使えば
z≡Σr(s)(mod 7)




補足
x≡y(mod n)のときx、yをnで割ったあまりは同じであることの証明
x,yはある整数q,r,s,tを用いて
x=qn+r (0<=r<n)
y=sn+t (0<=t<n)
とあらわせる。
定義より
x-y=(q-s)n+r-t
はnで割り切れ -n<r-t<n なのでr-t=0でなければならない。
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