勉強時間の計測に時間時刻記録

2013年01月21日

{1,2,3,...,2*n}からn+1個の要素を選ぶ

nを正の整数とする。集合A={1,2,3,...,2*n}からn+1個の要素を選ぶと、一方が他方の倍数になるようなものが含まれることを示せ。

証明

任意の自然数は(2^p)*q(pは0以上の整数、qは奇数)により一意的にあらわせるので

B(q) ={q,2*q,(2^2)*q,...,(2^p)*q}
(pは(2^p)*q≦2*n を満たす最大の正整数)

とすればAのn個の奇数により

A = B(1)∪B(3)∪...∪B(2*n-1)
(i≠j⇒B(i)∩B(j)=φ)

のようにAは互いに素なn個の部分集合の和で表せる。
鳩ノ巣原理よりあるiに対しB(i)は選ばれたn+1個の要素のうちの少なくとも2つを含んでいる。
B(i)の要素はどの2つも一方が他方の倍数になっている。
証明終わり

例 n=7のとき
A=B(1)∪B(3)∪B(5)∪B(7)∪B(9)∪B(11)∪B(13)
={1,2,4,8,16}∪{3,6,12}∪{5,10}∪{7,14}∪{9}∪{11}∪{13}
選ばれた7+1個の整数が3,7,8,9,11,12,13,14なら
3,12∈B(3)
posted by 私の名前は何でしょう? at 02:24 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学問題 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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